Les cryptarithmes

Le texte qui suit est écrit par Louis Thépault et a été publié dans Jeux&Strategie n°8.

Il n'est pas aisé de donner en quelques lignes une définition exacte du cryptarithme, et faire ressortir en même temps la variété et la richesse du raisonnement qu'il offre.
Pour simplifier, on peut dire qu'un cryptarithme est une sorte de rébus, un casse-tête purement arithmétique, où il s'agit de retrouver une opération de base qui selon un code bien déterminé, a subi une transformation littérale. Les cryptarithmes les plus courants sont dits " de substitution bijective ". Voici des règles de base :

un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre ;
une lettre donnée représente toujours le même chiffre ;
aucun nombre ne peut commencer par un 0 (zéro) ;
les accents sont sans incidence (sauf précision de l'auteur), en conséquence, E, É, È et Ê ne sont qu'une seule et même lettre. Ainsi, au moyen de la substitution suivante :

        A B C D E F
        4 8 3 6 7 9

La multiplication de gauche a été transformé en celle de droite :

 48367   ABCDE
 x   8     x   B
------  ------
386936  CBDFCD

Le joueur n'aura pour seules indications que l'opération de droite. A partir de là, il essaie de retrouver l'opération d'origine.
Il est évident que le jeu prend un caractère plus amusant lorsque les mots " représentant " les nombres de l'opération sont des mots réels…
Résoudre ce genre de casse-tête demande une certaine méthode. Examinons-la, grâce à un exemple très simple :

        SUISSE
        +SUEDE
        ------
        BRESIL

en 4^e colonne (les colonnes se comptent à partir de la gauche), S se retrouve au-dessus et au-dessous du traît de l'addition. L'autre lettre, E, vaut donc 0 ou 9 (s'il y a une retenue). Mais à la dernière colonne E 0. Donc E = 9 et L = 8.
Les retenues sont connues, l'addition est devenue :

        1 111
        SUISS9
        +SU9D9
        ------
        BR9SI8

en 3^e colonne, on a 1+I+U=9, soit I+U=8(a)
en 5^e colonne, on a 1+S+D=10+I, soit S+D=9+I(b)
additionnons (a) et (b). Il vient S+D+U=17.

Supposant qu'aucune de ces trois lettres n'égale 7. Les valeurs 9 et 8 sont attribuées, S+D+U valent au maximum 6 +5+4=15. Impossible.

L'une de ces lettres vaut donc 7 et les deux autres lettres 4 et 6.

en première colonne, on a B=S+1. S ne peut valoir que 4 (S=6 et B=7 ou S=7 et B=8). On a donc S=4, B=5. Si U=7, de (a) on déduit I=1 et en 2^e colonne E=1. Impossible.

D'où U=6, et I=2.

en 2^e colonne, on a R=0, et D=7.

La solution unique est :

Et voilà, c'est simple non… Essayez.
Nous vous proposons ici, une série de crytarithmes que nous avons classés par ordre de difficulté croissante… Ils ont en commun la remarquable propriété dêtre constitués d'un message " codé " qui représente, lui aussi, une opération exacte.

Et pour commencer, un exemple pour " débutant " où l'opération déguisée en chiffres romains se révèle juste (51+51=102) tout en cachant une addition tout aussi correcte que vous découvrirez en trouvant les valeurs des lettres L, C et I.

         LI
        +LI
        ---
        CII

De " Problèmes et divertissements mathématiques " de M. Gardner :

        FORTY
        + TEN
        + TEN
        -----
        SIXTY

Dans le " Petit Archimède " n°8, G. Glasser proposait :

        NEUF
        + UN
        + UN
        ----
        ONZE

En 1966, la revue Spirou consacrait plusieurs pages à ce genre de casse-tête. En voici trois :
de P. Noirez (dans le n° 1491)

            ONE
        +  NINE
        + FIFTY
        +TWENTY
        -------
         EIGHTY

de J. Chaupin (dans le n° 1498)

          CINQ
        + CINQ
        +VINGT
        ------
        TRENTE

Toujours dans ce numéro, A. Pereyol et C. André proposaient un très élégant :

6. (Le chiffre 2 signifie " au carré ")

          SIN2
         +COS2
        -----
        UNITE

Marie Berrondo dans " Jeux Mathématiques d'Eureka " a composé ce crytaroithme :

         CUATRO
        +CUATRO
        +CUATRO
        +CUATRO
        +CUATRO
        -------
         VEINTE

et celui-ci, remarquable :

         TWENTY
        +TWENTY
        +TWENTY
        +   TEN
        +   TEN
        -------
         EIGHTY

De l'auteur lui-même, voici une série de crytarithmes… mais attention aux pièges !

9. (Le chiffre 2 signifie " au carré ")

           DIX2
           +UN2
        ------
        CENTUN

Cette " équation allemande " est finalement très simple à résoudre…

10.

	EINS+NEUN=FUNF+FUNF

Tentons maintenant une soustraction…

11.

	  DIX2
	 -SIX2
	------
	HUITx8

Ce crytarithme a deux solutions…

12.

	XLIV
	*  X
	----
	CDXL

Des villes à découvrir…

13.

	 RENNES
	+NANTES
	-------
	 ANGERS

Un " classique " du genre…

14.

	 JUPITER
	+SATURNE
	+ URANUS
	--------
	 NEPTUNE

Testez les fruits de vos connaissances…

15.

	 FRAISE
	+CITRON
	+CERISE
	-------
	 RAISIN

Les signes ne sont pas qu'opératoires…

16.

	  BELIER
	+ CANCER
	+BALANCE
	--------
	 TAUREAU

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