A propos du temps...

Nous avons tous remarqué combien il est difficile pour les météorologues de prévoir le temps qu'il fera dans les prochaines heures. Cela constitue même parfois un sujet de plaisanterie anodin.

Le problème qui se pose ici est que les équations qui régissent d'un point de vue mathématique les mouvements de l'air, la pression, la température et tous les autres paramètres susceptibles d'influencer le temps qu'il fait, sont hautement non-linéaires, et qu'il n'est pas possible de les résoudre de manière exacte. A contrario, le mouvement des planètes, depuis que Kepler et Newton ont établi les lois de la gravitation universelle constitue pour la majorité d'entre nous un des succès majeurs de l'histoire des sciences. En effet, nous avons tous appris comment calculer les trajectoires des astres qui constituent le système solaire. Pourtant, les choses ne sont pas si simples...

En effet, si l'on applique les lois de Newton à un système de planètes comportant plus de deux planètes, il est impossible de résoudre formellement les équations du mouvement.

Un grand mathématicien Français, Pierre Simon de Laplace, a cru trouver une méthode pour remédier à ce problème. En calculant le mouvement des planètes comme si elles n'avaient pas d'influence les unes sur les autres, on obtient un mouvement dit d'ordre zéro, qui est une ellipse parfaite. Ensuite, on introduit des développements limités à l'ordre un pour tenir compte de l'influence mutuelle des planètes les unes sur les autres. Le succès de cette méthode tient au fait qu'elle a permis d'expliquer les déviations observées par rapport aux calculs effectués à l'ordre zéro.

Laplace résuma son oeuvre en introduisant le Démon qui porte son nom. S'il lui était possible de connaître à un instant donné la vitesse et la position de toutes les particules qui consituent l'Univers, le Démon de Laplace serait en mesure de calculer le passé et le futur de celui-ci. Le déterminisime scientifique était devenu absolu, seules les imperfections des mesures effectuées par l'homme limitaient le pouvoir prédictif de la science classique.
Plus tard, un autre Français, Le Verrier, démontra que si l'on calcule l'influence mutuelle des planètes en effectuant des développements pour des ordres élevés, les séries obtenues ne sont pas forcément bornées et convergentes. Il s'agit du problème des petits diviseurs. La stabilité du système solaire prédite par Laplace n'est plus une certitude ! Finalement, les travaux d'Henri Poincaré et de bien d'autres, aboutiront au résultat suivant: il est possible de prévoir avec une précision convenable le mouvement des astres sur une période d'environ 100 million d'années.

Au delà, les calculs divergent. Les lois du mouvement des planètes, comme celles qui régissent l'évolution de la météo sont non-linéaires. Elles impliquent la notion de chaos déterministe. La seule différence de fond qui existe entre les prévisions des météorologues et celles des astronomes est notre perception humaine, subjective, du temps qui passe. En quelques heures le soleil peut se voiler, la pluie et la tempête venir prendre sa place, et cela nous est immédiatement perceptible. Que les trajectoires des planètes soient chaotiques et que l'on ne sache pas prédire ce qui adviendra du système solaire dans 100 millions d'années ne nous intéresse guère. Pourtant, il s'agit bien du même problème...

A few words about the weather and time scales...

As most of us have noticed, despite the ever increasing computing and number crunching power at hand, weather forecast bulletins are still a far cry from being anything but reliable. This is still a standing joke at some times.

The problem which must be stated there is that all the equations, variables, and other mathematical artefacts that govern the movements of the atmosphere, interact together in a very non-linear way. Such equations do not have any formal solution(s).

On the other hand, the motion of our solar system planets, since Kepler and Newton have established the universal gravity laws constitutes a great scientific success story. We all learned at school how to calculate the trajectories of the heavenly bodies that revolve around us. However, things are not as simple as they look ...

The cornerstone of this not so simple state of affairs is the famous three body problem: if one attempt to solve Newton's equations for more than two planets at once, there is no formal solution at hand.

A great french mathematician, Pierre Simon de Laplace, thought once that he had found the definitive solution to circumvent this problem. If we start by calculating the orbit of a planet by considering only the interaction between this planet and the sun, we obtain a two body problem that can be solved exactly. The resulting orbit is a perfect ellipse. Let us call this a zero order solution. Thereafter, we may introduce a first order expansion to account for the mutual influence of other planets. The success of this method stems from the fact that it has enabled the precise evaluation of the discrepancies between the zero order solution and the actual observations.

Laplace summarized his achievements by introducing a Daemon... If Laplace's Daemon had been able to gather at one instant the speed and position of all the bodies contained in the universe, he could have derived from his data the past and future of positions and speeds of them alltogether. The whole universe was therefore deterministic: only the imperfections of man made measurements were to blame everywhere predictive power seemed limited. Later, another made in France scientist, Le Verrier, demonstrated that if one carries the expansion of series involved in the mutual influence of planets further, that is,beyond the first order, they are not always converging... The very base of Laplace's Daemon was being seriously challenged for the first time. The stability of the solar system was not any more an established certitude...

Eventually, another Gaulois came in the scene. Henri Poincaré. His work, along with all the groundbreaking efforts made by 20th century scientists all around the globe, firmly established the following fact: it is possible to predict to an acceptable degree of accuracy our solar system planets orbits over a time scale of roughly 100 million years. (This assertion is valid only for very large bodies. Smaller ones may enter a chaotic trajectory much faster). Beyond this time span, the calculations are no longer reliable, as the errors grow as large as the main results. Our solar system planets orbits, are indeed deterministic. But they are not predictable beyond a given time span. Deterministic chaos is at work in the background. Even worse, it is possible to demonstrate that there is an infinite number of unstable trajectories in the immediate vicinity of a stable one (and reciprocally). A very minute change in the initial conditions of any trajectory may have catastrophic consequences in the long term.

Let us come back to our initial topic. The only objective difference between the difficulty of issuing accurate weather forecasts and accurate planet trajectories predictions is our human, subjective, perception of time scales. Within hours, the sun may be shadowed by clouds, storms and hurricanes may follow quickly. We can appreciate such dramatic and "quick" changes easily. But, who cares for whatever orbit planet Earth may follow within 100 million years ? Whatever one thinks, this is essentially the same type of problem we must address...

Please do not consider this article as being exhaustive or totally accurate: for the sake of KISS (keep it simple and stupid) I have deliberatly oversimplified a few things. The interested reader MUST follow the links presented on this web site to gather robust and more exhaustive academic material on this subject.