Le paradoxe de la règle graduée

Imaginez que vous ayez devant vous un double-décimètre. Une telle règle comporte en général des graduations qui vont jusqu'au millimètre. Supposons maintenant qu'un Tyran maléfique auquel vous ne pouvez rien refuser vous ordonne de mesurer avec une précision absolue la distance qui vous sépare de votre maison. Il vous sera impossible d'y arriver avec une règle dont les graduations sont de un millimètre. Vous vous mettez donc en quête d'un outil plus précis. Facile pensez-vous: il suffit de resserer les graduations jusqu'à obtenir une résolution infinie. Entre chaque graduation d'un millimètre, vous placez donc 10 nouveaux traits séparés d'un dixième de millimètre. Puis vous recommencez, et vous obtenez alors des graduations au centième de millimètre. Et vous pourrez continuer ainsi jusqu'à la fin du temps sans avoir réussi à satisfaire votre tyran...Il vous faudrait en effet un laps de temps infiniment long pour obtenir une résolution infinie.

Supposons que vous disposiez de ce temps: au moment où vous penserez avoir atteint le but, votre règle deviendra inutile. Les traits constituant celles-ci deviendront soudainement si proches les uns des autres qu'ils se rejoindront, car ils ne peuvent pas avoir une épaisseur nulle...

Comment faire ? Il reste une autre voie. Vous êtes devenu si vieux que vos mains se sont mises à trembler. Vous n'êtes plus capable de faire une mesure correcte avec votre règle car elle bouge sans cesse. Affolé, vous avez soudain l'idée de faire des mesures "au vol", de manière aléatoire, et d'en prendre la valeur moyenne. Plus le temps passe, et plus vous constatez que la précision de vos mesures augmente. De cette façon, il est effectivement possible d'obtenir une mesure infiniment précise, si vous disposez réellement d'un temps infini... Mais le temps de vie de chacun de nous est compté, et l'Univers lui-même n'est (peut-être), pas si vieux que cela. Ayant atteint un âge respectable, vous vous tournez enfin vers vos amies les fourmis: sans coup férir, elles repoussent alors votre tyran, qui était en fait un simple démon personnel, en quête d'absolu, tapi au fond de vous-même. Elles vous laissent à méditer cette leçon: pour mesurer quoi que ce soit, il faut que les graduations de votre règle aient une épaisseur qui vous permettent de les lire, la règle parfaite n'existe pas, et votre tyran le savait bien...

A few words about the limits of physical measurements

Practically speaking, few people doubt that only the imperfections of measuring apparatus prevents mankind from acquiring an absolute knowledge of approximately any physical, biological, chemical system. Determinism fuels this conception, and most hard science relies on the fact that measurements are reproductible and accurate to the greatest extent that can be reached.

There is nevertheless a striking paradox. In fact, for any physical measurement to make sense, one needs a little uncertainty. Without this uncertainty, most technological and scientific progress would have been barely possible. The following examples will try to illustrate this concept. Not being a physicist myself enabled me to address this issue from a philosopher's viewpoint. Anyone who could challenge in a constructive way the ideas and concepts presented here will be welcome.

Proposal 1: a perfect physical measurement cannot be achieved.

Let us have a look at a concrete example. Consider a wavelength meter. These instruments generally use a grating to produce interference patterns that can be analyzed either visually or by means of a computer to derive the spectrum of the incoming light. The resolution of such an instrument is ultimately limited by the number of lines per milimeter etched on the grating. The higher this figure, the better the resolving power of the instrument. Now the very question is: what happens if we go up to the limit ? An ideal instrument would require an infinite number of lines per milimeter. Putting aside the fact that such a feat is clearly out of reach, we end up with an ordinary mirror, having a uniformly polished surface, instead of a grating! Therefore, we have lost the instrument. No interference pattern will emerge from a perfect mirror.

Proposal 2: As a consequence of proposal 1, a certain amount of uncertainty is needed to obtain any information about any pertinent physical variable.

We may consider another example: suppose we want to learn more about the chemicals contained in a galaxy. The standard procedure implies the spectrum analysis of the incoming light from this particular galaxy. Let us suppose that we have a perfect wavelength meter at hand. A prism may do the job because it separates the different colors (wavelengths) in a continuous, analog way, rather than in a discrete manner. If the spectral lines (colors) radiated by the chemicals we want to discover were generated by pure, noise free oscillators, they would show on the decomposed spectra as infinitely narrow lines. How do we measure infinitely narrow spectral lines? We are already back to proposal 1. Fortunately, the physics of atomic nuclei radiation imply that a certain amount of noise will be present. Therefore, the spectral linewidths won't be null and can be used as telltale signs of galaxies inner chemical composition.

Proposal 3: It is possible to make a perfect measurement, provided that this measurement duration equals eternity.

Oscillators usually exhibit phase noise, among other types of noise. The slope of this noise varies with the frequency with a law such as 1/fn, where fn denotes f raised to power n, n being an integer. To prove that this law is still valid for offset frequencies close to the carrier,

One needs an amount of time roughly proportional to 1/f_offset. When f_offset tends towards zero, the amount of time needed skyrockets towards infinity. The interesting point to note here is that the age of our universe is supposed to be finite, according to the standard comoslogical model...the conclusion is obvious... Another example can be found with the dithering effect. if one adds ergodic gaussian noise to a physical measurement and averages the samples obtained trough an instrument having a limited resolution, he or she may improve the actual performance of the instrument by a factor equal to log(n), where n is the number of samples. Once again, eternity is required to get an infinite number of samples...

My personal belief is that whatever example we may take, we are going to end with the same conclusion. Furthermore, one may show that randomness and the lack of certainty are the cornerstones which enabled the development of life and ultimately the conscious state of humanity. This is another never ending story...